Trigonometrical Relations-5

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Prove that :

(i) cos ⁴ A + sin ⁴ A - 2 cos ² A sin ² A = (2 cos ² A - 1) ²

(ii) sin ⁶ A + cos ⁶ A = 1 - 3 sin ² A cos ² A

Solution :

(i) L H S = cos ⁴ A + sin ⁴ A - 2 cos ² A sin ² A = ( cos ² A - sin ² A ) ²

= [ cos ² A - (1 - cos ² A) ] ² = (cos ² A - 1 + cos ² A) ² = (2 cos ² A - 1) ² = R H S

(ii) L H S = sin ⁶ A + cos ⁶ A = ( sin ² A ) ³ + ( cos ² A ) ³ = (sin ² A + cos ² A) ( sin ⁴ A - sin ² A cos ² A + cos ⁴ A) [Using a ³ + b ³ = (a + b) (a ² - a b + b ²)]

= ( sin ⁴ A - sin ² A cos ² A + cos ⁴ A ) [since, sin ² A + cos ² A = 1]

= (sin ² A ) ² + (cos ² A) ² + 2 sin ² A cos ² A - 2 sin ² A cos ² A - sin ² A cos ² A [Adding and subtracting 2 sin ² A cos ² A]

= (sin ² A + cos ² A) ² - 3 sin ² A cos ² A

= 1 ² - 3 sin ² A cos ² A

= 1 - 3 sin ² A cos ² A = R H S